Operaciones con conjuntos

Las operaciones entre conjuntos, relacionan conjuntos y producen nuevos conjuntos.Dichas operaciones tienen semejanza a las operaciones aritméticas de suma resta multiplicación.

Unión

La unión de conjuntos se representa con el símbolo:

$\cup$

Se puede definir como:

$A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B \}$

Lo que se lee como el conjunto A unión B, de las x tales que x pertenece al conjunto A o x que pertenece al conjunto B, es decir que la unión de dos conjuntos da como resultado un nuevo conjunto que contiene elementos del conjunto A o del conjunto B o de ambos.

Se pueden dar los siguientes casos para que un elemento x pertenezca a al conjunto:

$x \in A \cup B$

El primer caso es que x pertenezca al conjunto A, pero no al conjunto B

$x \in A \lor \not\in B$

El segundo caso es que x no pertenezca al conjunto A, pero si al conjunto B

$x \not\in A \lor \in B$

O bien x que pertenece a ambos.

$x \in A \lor \in B$

Por ejemplo:

Sea el conjunto C={1,2,3,4} y el conjunto B={5,3,6,4} y obtenemos la unión de ambos:

$C \cup D$

Tomando la definición de Unión de conjuntos:

$A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B \}$

Aplicandolo a los conjuntos C y D.

$C \cup D =\{ 1,2,3,4,5,6\}$

Lo que podemos ver en el siguiente diagrama de Venn, Euler:

Donde podemos ver que los elementos 3,4, pertenecen a ambos conjuntos, mientras que los elementos:1,2, solo pertenecen al conjunto C, pero los elementos 6,5, solo pertenecen al conjunto D, sin embargo al hacer la operación de unión de conjuntos todos los elementos de ambos quedan reunidos en un solo conjunto. A la operación de unión de conjuntos, también se le conoce como suma conjuntista por esta razón, ya que se parece a la suma aritmética.

Propiedades de la unión de conjuntos

Ya hemos mencionado que las operaciones con conjuntos, son semejantes a las operaciones aritméticas, pues también cumplen propiedades semejantes a las de los números reales como son las propiedades: conmutativa, distributiva, etc.

Propiedad Conmutativa

La unión de conjuntos cumple la propiedad conmutativa; el orden de los conjuntos no altera el conjunto resultado.

A\cup B =B \cup A

Propiedad Asociativa

También cumple con la propiedad asociativa en la que se puede hacer la unión de conjuntos de forma selectiva. Es importante resolver las operaciones de unión de conjuntos, comenzando por los que se encuentran entre parentesis.

(A\cup B) \cup C =A \cup (C \cup B)

Subconjuntos de la unión de conjuntos

Cada uno de los conjuntos implicados en la operación de unión, es un subconjunto del conjunto

A \cup B

Ejemplo:

Sean los conjuntos

C =\{1,2,3,4\}

y el conjunto

D =\{5,6,3,4\}

si calculamos

C \cup D =\{1,2,3,4,5.6\}

Donde podemos ver que el conjunto C es un subconjunto de

C \cup D

y también D es un subconjunto de

C \cup D

C \subset (C\cup D)

D \subset (C\cup D)

Propiedades de conjuntos iguales, subconjuntos y unión de conjuntos

A \subset B

, entonces

A \cup B = B

El conjunto

A

, está contenido dentro del conjunto

B

entonces al hacer la unión, queda dentro el conjunto B

A = B

, entonces

A \cup B = A=B

El conjunto A y B son iguales, tienen los mismos elementos, entonces al hacer la unión de ambos el resultado es un conjunto que es A o B, es decir, son nombres para el mismo conjunto

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Intersección

La intersección de conjuntos se representa con el simbolo:

$\cap$

Y se define como:

$A \cap B = \{x | x \in A \land x \in B \}$

Lo que se lee como el conjunto A intersección B es el conjunto de las x que pertenecen al conjunto A y x que pertenece al conjunto B

El condicional lógico "Y", señala que el elemento x debe estar en a ambos conjuntos para pertenecer a la intersección

Ejemplo

Sea el conjunto A={a,b,c,d,e,f,g} y el conjunto B={m,b,n,h,i,g}

Obtenemos la intersección del conjunto A y el conjunto B

$A \cap B =\{b,g\}$

Los elementos b,g, son los únicos elementos que se encuentran en conjunto A y en el conjunto B en el mismo tiempo, este conjunto lo podemos apreciar mejor en le siguiente diagrama de Venn Euler

La intersección de dos conjuntos es nuevo conjunto, que a su vez, es un subconjunto de ambos conjuntos.

$(A\cap B) \subset A \land (A \cap B) \subset B$

Intersección de varios conjuntos

Sean los conjuntos:

A=\{1,2,3,4,5 \}

B=\{6,7,3,8,9,4\}

C=\{3,7,2,8,9,4\}

Representandolos en un diagrama de Venn Euler:

Se obtienen las siguientes intersecciones:

A \cap B =\{3,4 \}

B \cap C =\{7,3,8,9,4 \}

A \cap C =\{3,2,4 \}

Y la intersección entre los tres conjuntos:

A \cap B  \cap C =\{3,4 \}

En el diagrama dibujamos los dos conjuntos, donde se intersectan las figuras geométricas, de los circulos que representan a cada conjunto, los elementos b,g que pertenecen de forma simultánea al conjunto A y B al mismo tiempo, podemos hacer una comparación y pensar que el conjunto A representa a un conjunto de estudiantes de guitarra clásica y el conjunto B representa a estudiantes de karate, entonces puede suceder que los estudiantes b y g están inscritos en ambos cursos a la vez

Propiedades de la intersección

Propiedad conmutativa:

$A \cap B = B \cap A$

Propiedad asociativa:

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

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Diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A,B es un nuevo conjunto que contiene los elementos del conjunto A pero no contiene los elementos del conjunto B la diferencia de conjuntos se denota como:

A-B

Y se define como:

A- B=\{ x \mid x \in A \land x \not\in B\}

El conjunto de los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B

En la gráfica se aprecia la parte en azul que muestra los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B

Ejemplo:

Analicemos la situación de elementos de la diferencia de dos conjuntos, hemos definido la diferencia de conjuntos como:

A- B=\{ x \mid x \in A \land x \not\in B\}

Tenemos las siguientes observaciones el elemento a pertenece al Conjunto A, solo a A y por eso pertenece al conjunto A-B

a \in A \Rightarrow a \in (A-B)

El elemento b pertenece al conjunto B, pero no pertenece al conjunto A-B

b \in B \Rightarrow b \not\in (A-B)

El elemento c pertenece al conjunto $A \cap B$ , pero no pertenece al conjunto A-B

c \in (A \cap B) \Rightarrow c \not\in (A-B)

Podemos concluir que, un elemento pertenece al conjunto A-B si y solo si, x pertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto B

x  \in (A-B) \Leftrightarrow x \in A \land x\not\in B

Complemento de conjuntos

El complemento de un conjunto, está formado por todos los elemento que no petenecen al conjunto.

Sea el conjunto A que es un subconjunto del conjunto universal

A \subset \mathbb{U}

Ahora definimos el complemento del conjunto A, como el conjunto de todos los elementos qe no están contenidos en A, pero necesariamente pertenecen al conjunto universal, entonces el complemento del conjunto A es :

\mathbb{U} -A

Que se representa con el símbolo:

A^c

Entonces el complemento del conjunto A es:

A^c = \mathbb{U} -A

Entonces el complemento de A, en el gráfico anterior está representado por la zona azul, que son los elementos que no pertenecen al conjunto A pero, si al conjunto universo. la porción de color negro dentro del conjunto A representado por el circulo negro representa los elementos del conjunto A.

Podemos definir al conjunto complemento como los elementos que pertenece al conjunto universal y no pertenecen al conjunto A

A^c = \{x \mid x \in \mathbb{U} \land x \not\in  A\}

Que se puede resumir como:

A^c = \{x \mid x \not\in  A\}

Ibrahim Academia