Conjunto.
Un conjunto es una colección de objetos o cosas, que pueden ser objetos materiales o abstractos, es decir pueden ser personas, autos, figuras geométricas en el primer caso o números, datos en el segundo caso. El concepto de conjunto significa que los objetos que están dentro del conjunto , están ahí porque están dentro del contexto que se está discutiendo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación, solo las que satisfacen la ecuación pertenecen al conjunto. es decir un conjunto, está formado por cosas a esas cosas les llamamos elementos y en la discución todos estamos de acuerdo en que los elementos si están agrupados dentro del conjunto.
Pertenencia
Un objeto tiene una relación o no con un conjunto es decir si esta contenido o no en el mismo. Si el elemento si está contenido en el conjunto, se dice que pertenece a él, y se relaciona con el simbolo de pertenencia:
\in
Y si un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo:
\notin
Notación
Los conjuntos de denominan; es decir se nombran usando letras mayúsculas, se acostumbra usar las primeras letras del alfabeto. Los elementos se colocan entre llaves, separados por comas. Los elementos se representan usando letras minúsculas.
Ejemplo 1
El conjunto de los planetas del sistema solar.
P= \{Mercurio, Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón\}Ejemplo 2
El conjunto de las vocales
V= \{a, e,i,o,u,\}Cuando un conjunto es muy extenso, o no tiene final, se utilizan tres puntos para listar solo algunos elementos e indicar que los elementos continuan de forma indeterminada.
Ejemplo 3
El conjunto de los números naturales.
\{1, 2,3,4...\}Ejemplo 4
Conjunto de los números enteros positivos del 1 al 100.
\{1, 2,3,4...100\}El conjunto tiene fin, los tres puntos ayudan a abreviar la notación y expresan que la lista continúa después del 4 hasta el 100.
Ejemplo 5
Sea el conjunto:
V= \{a, e,i,o,u,\}De las letras vocales entonces podemos determinar las siguientes relaciones:
a\in V
a pertenece al conjunto V
5\notin V
5 no pertenece a V
Notación por extensión o lista
La notación por extensión o lista es la que ya hemos estado manejando, se colocan los elementos del conjunto encerrados entre llaves y cada uno separado por comas:
\{1, 2,3,4...\}El orden no importa:
V=\{u, i,e,a,u\}Es el mismo conjunto de las letras vocales.
Un conjunto se considera el mismo si los elemento que lo componen se repiten:
A=\{1,2,3\}=B\{1,1,1,2,3,3,2\}El conjunto A es el mismo que el conjunto B, pues no importa el orden de los elementos, ni que se repitan, solo se cuentan una vez.
Esta forma de representar conjuntos tiene la desventaja de que si, los elementos que conforman el conjunto son muchos, sería muy complicado listarlos todos, por ejemplo se hablamos del conjunto de los ríos del continente americano, sería bastante complicado listarlos todos, por esta razón se tiene la notación por comprensión que veremos a continuación.
Notación por comprensión o constructiva
Esta notación, describe las caracteristicas que debe tener un elemento "x" para pertenecer a un conjunto.
V=\{x|x\quad es\quad una \quad vocal\}Con esta notación el conjunto V de las letras vocales, lo estamos describiendo ya no en forma de lista, ahora esta descrito por las propiedades que deben tener los elementos para estar contenidos en el conjunto.
La forma de interpretar esta notación es la siguiente el simbolo de la barra | se lee "tal que", entonces se lee como:
"El conjunto de la x tal que x es una vocal"
Axioma de especificación
A=\{x\quad |\quad x\in B \land P(x)\quad es \quad cierta\}Este axioma indica de que forma los elementos, pertenecen al conjunto
El simbolo:
\land
Se interpreta como "y". Entonces nos indica que el conjunto A, esta formado por los elementos x, tales que, pertenecen al conjunto B y P(x) es cierta.
Donde P(x) es una proposición, que debe ser cierta para que el elemento x este contenido en el conjunto A