Sistemas de numeración.
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Tabla de contenido.
- Principios fundamentales de los sistemas de numeración.
- Base de todos los sistemas.
- ¿Cuántas cifras tiene un sistema?
- Valor relativo de una cifra.
- Conversión de números en sistema decimal a otro distinto.
- Convertir un número de cualquier sistema a sistema decimal.
- Convertir un número de cualquier sistema numérico a cualquier otro sistema numérico.
Principios fundamentales de los sistemas de numeración.
Cualquier sistema de numeración tiene tres principios fundamentales.
- Para cualquier sistema numérico, un número de unidades igual a la base, sin importar de que orden sean. forman una unidad del orden inmediato superior.
- En cualquier sistema las cifras escritas a la izquierda de otra cifra, representa unidades tantas veces mayores que las representadas por la anterior, de acuerdo a la base.
- En cualquier sistema con la misma cantidad de cifras de la base, es posible escribir todos los números.
Base de todos los sistemas.
Todos los sistemas de numeración tiene en común el número 0 y 1.
En todos los sistemas de numeración, la base está representada por las cifras 10. En el sistema decimal 10 representan 10 unidades, porque el sistema es decimal.
Si el sistema es binario 10 representa dos unidades, por que la base del sistema es 2
Sistema ternario de base 3 la cifras 10 representan 3 unidades.
La base de un sistema se indica escribiendo un subindice que indica cual es la base.
| 10 | Sistema decimal |
| 102 | Sistema binario |
| 103 | Sistema ternario |
| 1016 | Sistema Hexadecimal. |
EL sistema decimal no se específica su base, pues se asume que es 10.
¿Cuántas cifras tiene un sistema?
Todo sistema númerico tiene tantas cifras como tenga la base. La cifra de la base no se incluye dentro del sistema, pues en todos se comienza por el cero.
Por ejemplo el sistema binario es de base 2, ocupa solo dos cifras 0 y 1. Y dos unidades forman una unidad del orden superior, asi el 102 forma el 2.
Pues representa 0 unidades de primer orden y una unidad del orden superior inmediato.
En el sitema ternario se ocupan las cifras 0,1,2 el 3 no entra pues es la base el número 3 se escribe:
103
Es decir cero unidades de primer orden una del orden superior inmediato.
Importante: Si la base del sistema es mayor o igual a 10, las cifras se representan usando letras. para las cifras mayores que 9
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15, G=16, H=17, I=18, J=18 …
Valor relativo de una cifra.
El valor relativo de una cifra depende de la base y el lugar que ocupa.
La posición de una cifra determina su valor relativo de acuerdo a la base.
Ejemplo:
112
La cifra 1 de la izquierda está en la segunda posición, de derecha a izquierda, por lo que entonces, representa dos unidades de la primera.
1 x 2 = 2, su valor relativo es 2.
La primer cifra de la derecha es una unidad de primer orden, pues su valor relativo es una unidad de primer orden.
Si representamos una cifra por las letras abcn en lugar de números y el subindice, sea cualquier base.
En tonces la cifra del extremo izquierdo, a, su valor relativo es:
a x n x n
Por que la estar en la tercer posición, contiene n unidades del segundo término y este segundo término a su vez contiene n unidades del primero.
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Ejemplo: Determinar el valor relativo de 3125
El valor relativo de la cifra 3 que ocupa el tercer orden es:
3 x 5 x 5 = 75
El valor relativo de la cifra 1 que ocupa el segundo orden es:
1 x 5 = 5
El valor relativo de la cifra 2 es 2 unidades de primer orden.
Conversión de números en sistema decimal a otro distinto.
Para hacer a conversión se debe seguir el siguiente algoritmo.
- Divide el número entre la base del sistema.
- Anota el primer cociente y el primer residuo, es parte del nuevo número en otro sistema.
- Se divide el cociente obtenido entre la base el nuevo residuo forma parte del nuevo número,
- Repite la división hasta obtener un cociente menor que la base.
Importante: Si el último cociente o algún residuo es mayor a 9, se pone en su lugar la letra correspondiente.
Ejemplo convertir a sistema binario el número 123
Aplicamos el algoritmo:
El último cociente forma parte del número, esta es la primera cifra del nuevo número, se va escribiendo de derecha a izquierda, el último cociente y todos los residuos:
Y se forma el número 1,111,0112
Convertir un número de cualquier sistema a sistema decimal.
Para convertir un número de cualquier sistema a sistema decimal debes seguir el siguiente algoritmo.
- Multiplica la prmera cifra de la izquierda por la base.
- El resultado se suma a la siguiente cifra que está a la derecha, la segunda de izquierda a derecha.
- Este resultado se multiplica por la base del sistema y se suma con la siguiente cifra.
- Se repite la operación hasta que se haya sumado el último número.
Ejemplo Convertir el número 11,1012 a sistema decimal.
Siguiendo el algoritmo multiplicamos la primera cifra de la izquierda por la base y se suma a la segunda cifra repitiendo el proceso hasta que se sume la última cifra.
1 x 2 = 2 se suma a la segunda cifra 2 + 1 = 3
3 x 2 = 6 se suma a la siguiente cifra 6 + 1 = 7
7 x 2 = 14 se suma a la siguiente cifra 14 + 0 = 14
14 x 2 = 28 Se suma a la última cifra 28 + 1 = 29
El número 11,1012 es igual 29 en sistema decimal.
Convertir un número de cualquier sistema numérico a cualquier otro sistema numérico.
Para hacer la conversión de un número en cualquier sistema numérico a otro diferente del decimal, es necesario convertir el número a sistema decimal y después pasarlo a nuevo sistema.
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