Razones y proporciones.
La comparación matemática de cantidades es una herramienta muy útil en la vida diaria pues permite, mediante el uso de razones obtener proporciones con aplicaciones en diversos campos; en finanzas determinar intereses de préstamos y rentabilidad de inversiones, arquitectura e ingeniería realizar maquetas, hasta en la cocina se aplica para realizar una receta o determinar cuantas porciones podrá rendir.
.
Tabla de contenidos
- Razón.
- Razón aritmética
- Razón geométrica
- Propiedades de las razones aritméticas.
- Clases de equidiferencias
- Teorema fundamental de las equidiferencias.
- Media aritmética.
- Teorema de la media aritmética.
- Proporciones geométricas
- Proporción equicociente o geométrica
- Clases de proporciones geométricas.
- Teorema fundamental de las proporciones geométricas.
- Media geométrica
- Teorema de la media geométrica
- Cuarta proporcional.
- Tercera proporcional.
Razón.
Es una comparación de dos cantidades, la comparación se puede hacer por exceso, es decir, cuanto excede una cantidad a otra, esta comparación se determina restando.
La comparación también se puede hacer, por cuantas veces cabe una cantidad en otra, esto se determina mediante la división.
La primera comparación que se hace restando se llama razón aritmética o por diferencia. La segunda se llama razón geometrica o por cociente.
Razón aritmética.
Es comparar dos cantidades restando una de otra. se representa con el signo – o con .
a – b es lo mismo que escribir a.b
Esta razón se lee: a es a b
además a recibe el nombre de antecedente y b el nombre de consecuente.
Ejemplo
En la batalla de 5 de mayo de 1862, en Puebla, enfrentaban 6048 soldados franceses contra 1200 soldados mexicanos
6048 – 1200 = 4848
Es decir que el ejército francés superaba el mexicano en 4848 soldados.
6048 es el antecedente.
1200 es el consecuente.
4848 es el resultado de la razón aritmética.
Razón geométrica.
Es comparar dos cantidades dividiendolas, la razón geométrica es el cociente.
Se representa como un número fraccionario \frac{a}{b} o con el signo \div
El numerador es el antecedente y el denominador es el consecuente:
\frac{a}{b} \frac{antecedente}{consecuente}
Propiedades de las razones aritméticas.
Cumplen las mismas propiedades para la resta a saber:
- Si se suma o se resta al antecedente, un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
- Si al consecuente se suma o se resta un número la razón se disminuye con la suma y se aumenta con la resta, en el mismo número.
- Si al antecedente y consecuente se le suma o resta el mismo número la razón no varía.
Proporción aritmética.
Llamada también equidiferencia, es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas
a – b = c – d
a.b::c.b
Ambas se se leen a es a b como c es a d
Los términos de una equidiferencia se llaman extremos el primero y el cuarto y medios el segundo y tercero
Se llaman entecedentes el primero y tercer término y consecuentes el segundo y el cuarto.
Clases de equidiferencias.
a – b = c – d
Discreta los términos medios no son iguales.
a – c = c – d
Continua: los términos medios son iguales.
Teorema fundamental de equidiferencias.
La suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea a – b = c – d
entonces:
a + d = c + b
Corolarios.
Un extremo de cualquier equidiferencia es igual, a la suma de los medios menos el otro extremo
a -b = c – d
entonces
a = b + c -d
Un medio en cualquier equidiferencia, es igual a la suma de los extremos menos el otro medio.
a -b = c – d
entonces
b = a +d – c
Media aritmética.
La media aritmética se presenta cuando se tiene una equidiferencia continua, la media diferencial son los términos medios que son iguales:
a -b = b – c;
b es la media aritmética.
Teorema de la media aritmética
La media aritmética es igual a la semisuma de los extremos.
Sea: a - b = b - c
Entonces: b = \frac{a + c}{2}
Proporciones geométricas.
Proporción Equicociente o geométrica
Es la igualdad de dos razones geométricas.
Notación:
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
a:b::c:d
a es a, b como c, es a, d
los términos a y c son llamados antecedentes.
a y d son los extremos.
b y c son los medios
Clases de proporciones geométricas.
Discreta si los medios no son iguales,
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Continua: si los término medios son iguales
\frac{a}{b} = \frac{b}{d}
Teorema fundamental de las proporciones geométricas.
Para toda proporción geométrica se cumple que: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Sea:
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Entonces
{a}{d} = {b}{c}
Corolario 1
Un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo, para toda proporción geométrica-
Sea:
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Entonces
{a} = \frac{b c}{d}
{a} = \frac{b c}{d}
Corolario 2
Un término medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro término medio.
Entonces
{b} = \frac{ad}{c}
Media geométrica.
En una proporción geométrica continua, la media geométrica son los términos medios
\frac{a}{b} = \frac{b}{d}
b es la media geométrica
Teorema de la media geométrica.
La media geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Sea:
\frac{a}{b} = \frac{b}{d}
Entonces
b = \sqrt{a c}
Cuarta proporcional.
En una proporción geométrica discreta es cualquiera de los términos.
Determinar la cuarta proporcional de los términos.
a, b, c
Determinamos la proporción:
a:b::c:x
La incógnita es el término x y lo colocamos como el término extremo en la relación:
\frac{a}{b} = \frac{c}{x}
Despejando x
x = \frac{bc}{a}
Tercera proporcional.
Puede ser alguno de los extremos de una proporción geométrica continua.
Sea a, b
Formamos la proporción continua:
a:b::b:x
Construimos la relación:
\frac{a}{b} = \frac{b}{x}
Despejando x: