Operaciones con conjuntos.

Existen formas de combinar conjuntos, estas son operaciones y originan nuevos conjuntos. Las operaciones fundamentales son: unión, intersección y diferencia. Estas operaciones son semejantes a las operaciones de suma, resta, producto y diferencia de la aritmética.

Tabla de contenido.

Union.

De la unión de dos conjuntos X, Y resulta un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a X o a Y o a ambos.

$X \cup Y$

Se lee X unión Y

En la figura la parte sombreada es el área de los conjuntos X, Y y representa además la unión de X e Y.

La unión de dos conjutos X e Y se puede definir como:

$X \cup Y = \{a | a \in X$ o $a \in Y \}$

Además $X \cup Y = Y \cup X$

X e Y son subconjuntos de $X \cup Y$

También:

$X \subset (X \cup Y)$ y $Y \subset (X \cup Y)$

Ejemplo 1

Sea S={a,b,c,d} Y T={f,b,d,g}

$S \cup T = \{a,b,c,d,f,g\}$

También la Unión de conjuntos se puede representar como X + Y, y se conoce como suma conjuntista.

Intersección.

Es una combinación de conjuntos, formada por elementos comunes a dos conjuntos. Está formada por elementos que pertenecen a un conjunto X y a un conjunto Y.

$X \cap Y$

Representa la intersección del con junto X con el conjunto Y.

La intersección se define como:

X \cap Y = \{a | a \in X, a \in Y\}

Ejemplo 2

Sea S={a,b,c,d} y T={f,b,d,g}

$S \cap T = \{b,d\}$

Notas:

$X \cap Y = Y \cap X$

Cada uno de los conjuntos X e Y contiene al $X \cap Y$ como subconjunto:

$(X \cap Y) \subset X$

$(X \cap Y) \subset Y$

Si dos conjuntos X e Y no tienen elementos en común, son disjuntos:

$(X \cap Y) = \{\emptyset\}$

En probabilidad la intersección de conjuntos, se llama producto conjuntista de X e Y, XY.

Diferencia.

Sea X-Y La difrencia de dos conjuntos, que da como resultado: los elementos que pertenecen a X, sin los que pertenecen a Y.

X-Y se lee: “la diferencia de Y” o “X menos Y”.

Se define como:

$X-Y= \{ a | a \in X , a\notin Y\}$

Notas:

El conjunto X contiene al X-Y como subconjunto, esto es :

$(X-Y) \subset X$

Los conjuntos $(X-Y)$ , $X \subset Y$ y $(Y-X)$ son mutuamente disjuntos. la intersección entre dos cualquiera de los anteriores es un conjunto vacío.

Complemento.

El conjunto de elementos que no pertenecen a un conjunto, son su complemento.

Tenemos el conjunto B el complemento de B son todos los elementos no pertenecen a B.

El complemento se escribe B’

Ejemplo 3.

Suponiendo que U es el alfabeto, si T={a,b,c} entonces:

T’={d,f,g,h,i,….x,y,z}

Entonces el complemento de un conjunto se define como:

$X'= \{a \in U, a \notin X \}$

$X'= \{ a \notin X \}$

Notas:

La unión de cualquier conjunto X y su complemento X’, es el conjuto universal:

$X \cup X' = U$

El conjunto X y su complemento X’ son disjuntos:

$X \cup X' = \emptyset$

El complemento del complemento de un conjunto X es el conjunto X mismo:

(X’)’ = X

La diferencia de X y Y es igual a la intersección de X y el complemento de Y, es decir:

$X-Y=X \cap Y'$

Demostración:

$X-Y=\{a | a \in X, a \notin Y\} = \{a | a \in X, a \in Y' \} = X \cap Y'$