Desigualdades y propiedades de las desigualdades.
Las desigualdades matemáticas, tiene una gran importancia dentro del campo de las matemáticas pues entre otras, tiene aplicaciones en ingeniería, ciencias sociales, ciencias naturales; por ejemplo, biología, en estás ciencias, las desigualdades son herramientas, que permiten aplicar el concepto de límite. En ingeniería por ejemplo permiten determinar los límites de materiales necesarios para un proyecto, en economía se puede aplicar a estudios de la relación entre edad y capacidad económica
Tabla de contenido.
Desigualdades.
Cantidades menores, mayores o iguales.
Una cantidad x es mayor que una cantidad y si la diferencia de x – y es positiva.
por ejemplo si x = 15 e y=3, entonces x – y = 15 – 3 = 12
El resultado es una cantidad positiva, así que 15 es mayor que 3
Una cantidad a es menor que una cantidad b, si la diferencia de a – b es negativa.
Por ejemplo 8 – 13= -5
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión que indica si una cantidad es mayor o menor que otra.
Se utilizan los símbolos > y < que se leen mayor que y menor que, respectivamente.
> mayor que
< menor que
Primer miembro segundo miembro.
El lado izquierdo de la desigualdad se llama primer miembro y el lado derecho se llama segundo miembro.Además de llama términos a las expresiones que se encuentran a ambos lados de la desigualdad, separados por signos de + y –
Ejemplo de términos:
m – n > p + q
Sentido o signo de la desigualdad.
Dos desigualdades dadas son del mismo sentido o signo, cuando los primeros miembros de ambas son mayores o menores simultáneamente que los segundos.
Es decir:
m > n y p > q
Ambas desigualdades van en el mismo sentido.
Son de sentido contrario cuando sus primeros miembros, no son mayores o menores de forma simultánea.
a > b y p < q
Son de sentido opuesto.
Axioma de tricotomía.
Si a y b \in \R se cumple una y solo una de las siguientes relaciones
a > b a= b a < b
El conjunto de los números reales forma un campo y adicional a las propiedades de este campo, ahora se presentan otras propiedades de las desigualdades que se conocen también como los axiomas de orden, para el campo de los número reales.
Propiedades de las desigualdades.
1a Propiedad
No cambia el sentido de la desigualdad si a ambos miembros se suma o se resta la misma cantidad.
m + d > n +d m- d > n -d
Por esta propiedad un término de una desigualdad se puede cambiar de miembro haciendo cambio de signo.
m < n + c equivale a m- c < n
Demostración:
m < n + c
Sumando el inverso aditivo de c
m + (-c) < n + c +(-c )
m – c < n – 0
m – c < n
2a Propiedad.
Una desigualdad no cambia si los dos miembros se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva
m d > n d \frac{m}{d} > \frac{n}{d}
3 er propiedad
El sentido de una desigualdad cambia si ambos miembros se multiplican o dividen, por una cantidad negativa.
Si m > n se multiplica por -d entonces:
-dm < -dn
m > n se divide por -\frac{1}{d}
-\frac{m}{d}< -\frac{n}{d}
Entonces si se cambia el signo de los términos de ambos miembros de una desigualdad el sentido cambia.
m – n > c
Al cambiar los signos de todos los términos de ambos miembros de la desigualdad, lo que equivale a multiplicar por -1
n – m < -c
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4ta Propiedad.
Si cambiamos el orden de los miembros cambia el signo de la desigualdad.
m > n
Cambiando el orden:
n < m
5ta. Propiedad.
La desigualdad cambia de signo si se invierten los términos.
m > n
Al dividir por mn ambos miembros de la desigualdad
\frac{1}{n} < \frac{1}{m}
6ta. Propiedad.
La desigualdad no cambia si ambos miembros son positivos y se elevan a una potencia par.
Ejemplo:
5 > 3
Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:
5^2 > 3^2
25 > 9
7a Propiedad.
La desigualdad no cambia, si ambos miembros se elevan a una potencia impar, positiva y los dos miembros o uno de ellos es negativo.
Ejemplo:
Sea:
-2 > -7
Elevando ambos miembros al cubo:
-2^3 > -7^3
-8 > -343
Ejemplo:
Sea:
-4 < 3
-4^3 < 3^3
-64 < 27
8a Propiedad.
La desigualdad cambia si ambos miembros son negativos y se elevan a la misma potencia par positiva.
Ejemplo
-7 < -3
Si se elevan al cuadrado, potencia par positiva.
(-7)^2 < (-3)^2
49 > 9
9a Propiedad.
El sentido de una desigualdad puede cambiar, si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una potencia par positiva.
4 > -8
(4)^2 > (-8)^2
16 < 64
10a Proposición.
La desigualdad no cambia, si ambos si ambos miembros son positivos y se les extrae una misma raíz positiva.
Sea:
x > y
\sqrt[m]{x} > \sqrt[m]{y}
11a Propiedad.
No cambia el sentido de una desigualdad resultante de la suma o multiplicación de los miembros de dos o más desigualdades con el mismo sentido.
Sean:
m > n p > q
Entonces:
m + p > n + q
Y
mp > nq
12a Propiedad.
Se puede obtener una desigualdad que posiblemente cambie de signo o obtener una igualdad, de la resta o división, miembro a miembro de dos desigualdades.
Sea:
15 > 11 y 9 > 2 2
15 – 11 > 9 – 2
4 < 7
Sea:
27 > 12 y 9 > 4
Dividiendo miembro a miembro.
\frac{27}{9} > \frac{12}{4}
3 = 3