Cocientes notables

Tabla de contenido.

Cocientes notables.
Cociente de la diferencia de los cuadradados de dos términos entre la suma o la diferencia de dos términos
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos términos entre la suma o la diferencia de los terminos.
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos términos entre la suma o la diferencia de los términos.

Cocientes notables.

De la misma forma que los productos notables siguen ciertas reglas para poder desarrollarlos, los cocientes notables también siguen patrones que nos permiten resolverlos rapidamente.

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos términos entre la suma o la diferencia de dos términos.

Primer caso: tenemos un cociente del tipo

$\frac{x^2-y^2}{x+y}$

Desarrollando la división:

$x^2 \quad -y^2$	$x+y$
$-x^2 \,-xy -y^2$	$x$
$-xy -y^2$	$x-y$
$xy +y^2$

Entonces tenemos el cociente:

$\frac{x^2-y^2}{x+y} = x-y$

La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida por la suma de los dos términos es igual a la diferencia de los términos.

Segundo caso

$\frac{x^2-y^2}{x-y}$

De la misma forma desarrollando la división obtenemos:

$\frac{x^2-y^2}{x-y} = x+y$

La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida por la diferencia de los dos términos es igual a la suma de los términos.

Ejemplo1

Obtener el cociente de:

$\frac{x^2-4}{x+2}$

Aplicamos: “La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida por la suma de los dos términos es igual a la diferencia de los términos.” entonces:

$\frac{x^2-4}{x+2} = x-2$

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Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos términos entre la suma o la diferencia de los términos.

Para los cocientes:

$\frac{x^3+y^3}{x+y}= x^2-xy+y^2$

$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+ y^2$

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos términos entre la suma o la diferencia de los términos.

Los siguientes casos :

La diferencia de potencias iguales; pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases.

$\frac{x^4-y^4}{x-y}= x^3+x^2y+xy^2+y^3$

$\frac{x^5-y^5}{x-y}= x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4$

Asi la diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma de las bases.

$\frac{x^4-y^4}{x+y}= x^3-x^2y+xy^2-y^3$

La suma de las potencias impares, siempre es divisible por la suma de las bases:

$\frac{x^5+y^5}{x+y}= x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4$

La suma de las potencias iguales pares, nunca es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las bases:

$\frac{x^4+y^4}{x \pm y}$

La división no es exacta.

Los anteriores cocientes tienen las siguientes caracteristicas notables:

$x^n -y^n$ es siempre divisible por $x-y$ , con n cualquier número entero par o impar.
$x^n -y^n$ es divisible por $x+y$ , con n entero par.
$x^n +y^n$ es divisible por $x+y$ , con n entero impar.
$x^n +y^n$ nunca es divisible por $x+y$ ni por $x-y$ siendo n un número entero par.

Leyes de estos cocientes notables.

El cociente tendrá tantos términos como unidades tienen, los exponentes del dividendo.
Se obtiene el primer término del cociente, dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de x disminuye 1 en cada término.
Para y en el segundo término, el exponente es 1 y después va aumentando en 1 en cada término siguiente.
Si el el divisor es $x-y$ , todos los signos del cociente serán positivos y cuando el divisor es: $x+y$ , los signos del cociente, se alternan en + y -.