Operaciones con conjuntos.

Tabla de contenidos.

Unión. $\, \cup$

$A \cup B = \{x | x \in A \, o \, x \in B\}$

La unión de dos conjuntos $A \cup B$ , es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B o a ambos.

Fig 1

En la figura 1 se muestra la unión de los conjuntos A y B lo sombreado en morado es la unión de los dos conjuntos.

Ejemplo 1

Tenemos el conjunto: $A= \{a,b,c,d\}$

y el conjunto $B= \{f,b,d,g\}$

$A \cup B =\{a,b,c,d,f,g\}$

Relaciones importantes

$A \cup B = B \cup A$

Ambos conjuntos son subconjuntos de sus uniones mutuas.

$A \subset (A \cup B)$

$B \subset (A \cup B)$

Intersección.

$A \cap B = \{ x | x \in A , x \in B \}$

La intersección de $A \cap B$ es el conjunto que se forma con los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B.

Fig. 2 La intersección del conjunto A con B

Ejemplo 2

$A = \{a,b,c,d\} \quad B = \{f,b,d,g\}$

Entonces:

$A \cap B = \{ b,d \}$

Asi la interserción se forma con los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B.

Relaciones importantes.

Si $A \cap B = \emptyset$ , entonces ambos conjuntos son disjuntos; no tienen elementos en común.

A \cap B = B \cap A

Además: $(A \cap B) \subset A$

De la misma manera:

(A \cap B) \subset B

La intersección también se conoce como producto conjuntista AB.

Diferencia.

$A - B = \{ x | x \in A, x \notin B \}$

La diferencia de dos conjuntos A Y B es el conjunto formado por los elementos que pertenece a A, pero no pertenecen a B.

Ejemplo 3

Sean los conjuntos:

$A= \{a,b,c,d\}$

$B= \{f,b,d,g\}$

Entonces A-B:

$A- B= \{a,c\}$

Además:

$B-A= \{f,g\}$

Relaciones importantes.

$(A-B) = \subset A$

$(A-B), \quad A \cap B, \quad (B-A) \quad$

Son conjuntos disjuntos entre ellos.

Complemento.

$A'=\{ x|x \in U, x \notin A \}$

Supongamos que existe un conjunto Universo o conjunto del discurso, pongamos que sea el alfabeto, y tomamos un subconjuto de ese universo, que puede ser el conjunto A

$A= \{a,b,c\}$

Entonces el conjunto complemento de A, al que llamaremos A’, será el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universo (letras del alfabeto) menos las letras del conjunto A.

Asi el $A'= \{d,e,f,g,h,...x,y,z\}$

El conjunto complemento también se puede escribir como:

$A'=\{x | x \notin A \}$

Relaciones importantes.

La unión de cualquier conjunto A y A’ es el conjunto universal.

$A \cup A' =U$

La intersección de un conjunto y su complemento, resulta un conjunto vacío:

$A \cap A' =\emptyset$

El complemento del conjunto universo es el conjunto vacío y viceversa.

$U'= \emptyset$

$\emptyset= U'$

El complemento, del complemento de un conjunto, es el complemento mismo.