Leyes de los radicales.
Introducción.
Tabla de contenido.
- Raíz.
- Signos de las raíces.
- Cantidad imaginaria
- Condiciones de las raíces de los números reales.
- Leyes de los radicales
- Aplicaciones de las leyes de los exponentes.
Raíz.
La raíz de una expresión algebraica, es aquella expresión que elevada a una potencia, da como resultado la expresión dada.
De esa forma por ejemplo 4x es la raíz de 16x^2, porque (4x)^2= 16x^2
Pero también tiene otra raíz, pues (-4x)^2= 16x^2
El símbolo \sqrt{ } se llama radical. Dentro de este signo se escribe la cantidad al la que se va a extraer la raíz. por esto se llama subradical.
El signo de radical \sqrt{ }, tiene un indice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz para que de la cantidad del subradical:
\sqrt[n]{a}
Donde n es el indice de la potencia y a es el rádical, en el caso de la raíz cuadrada de un número n se omite, y solo se coloca el número para raíces mayores a 2
Ejemplo 1
\sqrt{a}
Se lee “la raíz cuadrada de a”
Ejemplo 2
\sqrt[3]{a}
Se lee “la raíz cubica de a”
Asi la raiz cúbica de 27x^3 es:
\sqrt[3]{27x^3} = 3x
El grado de un radical esta expresado por su índice, así la expresión anterior es de tercer grado.
Si la raíz es exacta es una raíz racional, de lo contrario es irracional.
Signos de las raíces.
Las raíces impares de una expresión tienen el mismo signo que el subradical:
Ejemplo 3
\sqrt[3]{-27x^3} = -3x
Ejemplo 4
\sqrt[5]{-7776x^5} = -6x
Las raíces pares de una cantidad positiva son de doble signo:
Ejemplo 5
\sqrt{36x^2} = \pm 6x
Porque: (6x)^2 = 36x^2
y (-6x)^2 = 36x^2
Cantidad imaginaria.
No existen las raíces pares de una cantidad negativa, pues por ejemplo la \sqrt{-16}, no se puede extraer pues toda cantidad, positiva o negativa que se eleva a una potencia par el resultado es positivo.
De acuerdo a las leyes de los exponentes y leyes de la multiplicación
Condiciones de las raíces de números reales.
Las raíces de los números reales cumplen las siguientes condiciones:
- Un número positivo tiene dos raíces pares reales, una positiva y una negativa.
- Un número positvo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, donde el signo de la raíz es igual al signo del número.
- Un número negativo no tiene raices reales pares.
Dona cualquier cantidad para que nuestro proyecto siga creciendo:
Leyes de los radicales.
Para comprender las leyes de los exponentes analizemos los siguientes conceptos:
La raíz enésima de un número es:
\sqrt[n]{a^m}
Donde:
\sqrt{ } es el radical
a Es el radicando.
m Es la potencia del radicando.
Entonces de acuerdo a las leyes de los exponentes, la raíz enésima de una cantidad se puede expresar como:
\sqrt[n]{a^m } = (a^m)^\frac{1}{n} = (a)^\frac{m}{n}
Además si m=1 entonces:
\sqrt[n]{a } = (a)^\frac{1}{n}
Con estas premisas vamos a estudiar las leyes de los radicales:
Primera ley:
\sqrt[n]{a^n } = (a)^\frac{n}{n} = a
Si el exponente del radicando es igual a la raíz, el resultado es el radicando, el exponente del radicando es igual a 1.
Segunda ley:
\sqrt[n]{ab } = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b }
que también se puede escribir como:
(ab)^\frac{1}{n}=(a)^\frac{1}{n}(b)^\frac{1}{n}
Tercera Ley:
\sqrt[n]{\frac{a}{b} } = \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b }}
Podemos escribirla usando exponentes fraccionarios
(\frac{a}{b})^\frac{1}{n}=\frac{(a)^\frac{1}{n}}{(b)^\frac{1}{n}}
Cuarta ley:
\sqrt[cn]{a^{cm}} = \sqrt[n]{a^m}
Esto es porque:
(a)^\frac{cm}{cn}=(a)^\frac{m}{n}
Quinta ley:
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}
Debido a que.
(a^\frac{1}{n})^\frac{1}{m} =(a^\frac{1}{mn})
Sexta ley:
\sqrt[n]{a^{m}} \sqrt[q]{a^{p}}=\sqrt[nq]{a^{mq+np}}
Aplicaciones de las leyes de los exponentes.
Estas leyes se aplican para hacer cambios en los radicales si:
- Se necesita remover factores del radicando.
- Remover el denominador de un radicando.
- Expresar el radical, como un radical de orden más bajo.
- Incluir un factor dentro de un radical.
Estas aplicaciones puedes verlas en el siguiente vídeo tutorial:
- Día internacional de las mujeres matemáticas
- Maryam Mirzajani
- Hipatia de Alejandria
- Numeros reales
- Euclides.
Si puedes donar cualquier cantidad para que el proyecto de Ibrahim Balduur Academia siga creciendo