Operaciones con conjuntos.
Existen formas de combinar conjuntos, estas son operaciones y originan nuevos conjuntos. Las operaciones fundamentales son: unión, intersección y diferencia. Estas operaciones son semejantes a las operaciones de suma, resta, producto y diferencia de la aritmética.
Tabla de contenido.
Union.
De la unión de dos conjuntos X, Y resulta un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a X o a Y o a ambos.
X \cup Y
Se lee X unión Y
En la figura la parte sombreada es el área de los conjuntos X, Y y representa además la unión de X e Y.
La unión de dos conjutos X e Y se puede definir como:
X \cup Y = \{a | a \in X o a \in Y \}
Además X \cup Y = Y \cup X
X e Y son subconjuntos de X \cup Y
También:
X \subset (X \cup Y) y Y \subset (X \cup Y)
Ejemplo 1
Sea S={a,b,c,d} Y T={f,b,d,g}
S \cup T = \{a,b,c,d,f,g\}
También la Unión de conjuntos se puede representar como X + Y, y se conoce como suma conjuntista.
Intersección.
Es una combinación de conjuntos, formada por elementos comunes a dos conjuntos. Está formada por elementos que pertenecen a un conjunto X y a un conjunto Y.
X \cap Y
Representa la intersección del con junto X con el conjunto Y.
La intersección se define como:
X \cap Y = \{a | a \in X, a \in Y\}Ejemplo 2
Sea S={a,b,c,d} y T={f,b,d,g}
S \cap T = \{b,d\}
Notas:
X \cap Y = Y \cap X
Cada uno de los conjuntos X e Y contiene al X \cap Y como subconjunto:
(X \cap Y) \subset X
(X \cap Y) \subset Y
Si dos conjuntos X e Y no tienen elementos en común, son disjuntos:
(X \cap Y) = \{\emptyset\}
En probabilidad la intersección de conjuntos, se llama producto conjuntista de X e Y, XY.
Diferencia.
Sea X-Y La difrencia de dos conjuntos, que da como resultado: los elementos que pertenecen a X, sin los que pertenecen a Y.
X-Y se lee: “la diferencia de Y” o “X menos Y”.
Se define como:
X-Y= \{ a | a \in X , a\notin Y\}
Notas:
El conjunto X contiene al X-Y como subconjunto, esto es :
(X-Y) \subset X
Los conjuntos (X-Y), X \subset Y y (Y-X) son mutuamente disjuntos. la intersección entre dos cualquiera de los anteriores es un conjunto vacío.
Complemento.
El conjunto de elementos que no pertenecen a un conjunto, son su complemento.
Tenemos el conjunto B el complemento de B son todos los elementos no pertenecen a B.
El complemento se escribe B’
Ejemplo 3.
Suponiendo que U es el alfabeto, si T={a,b,c} entonces:
T’={d,f,g,h,i,….x,y,z}
Entonces el complemento de un conjunto se define como:
X'= \{a \in U, a \notin X \}
X'= \{ a \notin X \}
Notas:
La unión de cualquier conjunto X y su complemento X’, es el conjuto universal:
X \cup X' = U
El conjunto X y su complemento X’ son disjuntos:
X \cup X' = \emptyset
El complemento del complemento de un conjunto X es el conjunto X mismo:
(X’)’ = X
La diferencia de X y Y es igual a la intersección de X y el complemento de Y, es decir:
X-Y=X \cap Y'
Demostración:
X-Y=\{a | a \in X, a \notin Y\} = \{a | a \in X, a \in Y' \} = X \cap Y'
Operaciones con conjuntos comparables.
Las combinaciones de conjuntos, cuando estos son comparables se pueden demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 1
Si X \subset Y entonces X \cap Y = X
Teorema 2.
Si X \subset Y entonces X \cup Y = Y
Teorema 3.
Si X \subset Y entonces Y' \subset X'
Teorema 4.
Si X \subset Y entonces X \cup (Y-X)=Y
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