Conjuntos

Tabla de contenidos.

• ¿Qué es un conjunto?.
• Notación.
• Representar conjuntos: comprensión, extensión.
• Pertenencia.
• Conjuntos finitos e infinitos
• Igualdad de conjuntos.
• Conjunto vacío.
• Subconjuntos.
• Subconjunto propio.
• Comparabilidad:
• Familias de conjuntos.
• Conjunto Universal U.
• Conjunto Potencia.
• Conjuntos disjuntos.

Conjunto.

Un concepto fundamental en todas las ramas de la matemática es el conjunto

La teoría de conjuntos es una herramienta poderosa y versátil en muchas áreas de la ciencia y la tecnología. Las aplicaciones son innumerables y van desde la programación de computadoras hasta la estadística y la teoría de juegos. Al comprender los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, los profesionales pueden abordar de manera efectiva problemas complejos en sus respectivos campos y tomar decisiones informadas basadas en datos.

Entendemos el conjunto como una lista, un grupo, una colección o clase de objetos, pues no hay una definición matemática.

Puede estar formado por las soluciones a una ecuación, los miembros de una familia, los productos de una tienda, los sucriptores de un sitio

Cada uno de los objetos que componen un conjunto se llaman elementos

Notación.

Para nombrar un conjunto se usan letras Mayúsculas:

A,B,C,D….X,Y,Z

Los elementos son nombrados por letras minúsculas:

a,b,c,d,f…

Representar conjuntos.

Representar los conjuntos se hace de dos formas:

• Forma tabular o por extensión.
• Forma por comprensión o constructiva.

La forma tabular enumera los elementos, en una lista separada por comas y encerrada entre llaves, esta forma es más útil para conjuntos finitos

Ejemplo 1

El conjunto de los números 1,2,7,y 10. Se escribe:

A={1,2,7,10}

Comprensión o constructiva: define un conjunto enunciado las propiedades que deben tener sus elementos. Se utiliza una letra que representa a todos los elementos del conjunto; es una variable, suele usarse la letra x, después se representa la condición o propiedad que deben cumplir los elementos para pertenecer al conjunto.

Así de forma general la forma por compresión de representar un conjunto se puede enunciar de esta manera:

C={x|P(x) es cierta}

El símbolo |, se lee tal que, P(x) es la condición que debe cumplir un elemento para pertenecer al conjunto.

Ejemplo 2.

El conjunto de los números pares:

B={x|x es par}

En este ejemplo sería muy complicado enumerar de verdad, por la forma tabular todos los elementos del conjunto de los números pares. De forma tabular se puede escribir:

B={2,4,6,8,10,12……}

Donde los puntos significan que los elementos del conjunto siguen sin definir la lista total de elementos, pues el conjunto de los números impares es infinito.

Pertenencia.

Si un objeto pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

\in

Ejemplo 3.

Sea V el conjunto de las vocales V={a,e,i,o,u}

Entonces :

a \in V

Que se lee: a pertenece al conjunto V, que es el conjunto de las vocales.

La no pertenencia se indica con el símbolo:

\notin

Ejemplo 4.

n \notin V

La consonante n, no pertenece al conjunto V de las letras vocales.

Conjuntos finitos e infinitos.

Un conjunto es finito si el proceso de contar su elementos tiene fin, de lo contrario, es infinito.

Ejemplo 5 Conjuntos finitos.

• M= conjunto de los meses del año.
• S = conjunto de los días de la semana.
• R = conjunto de los ríos de América.
• N = conjunto de las letras que forman tu nombre

Ejemplo 6 Conjuntos infinitos.

Conjunto A de los números enteros mayores o iguales a 1

A= \{ x \in \mathbb{N} |1 \leqslant x \}

Que se lee: El conjunto A de x que pertenece a los números naturales, tal que x es mayor o igual a 1.

Conjunto P de los números enteros pares mayores o iguales a 2:

P ={2,4,6,8…}

Conjunto de los números del 1 al 10

C = \{x | 1 \leq x \leq 10 \}

Igualdad de conjuntos.

Dos conjuntos son iguales, si teniendo un conjunto X, y un conjunto Y, de tal manera que todos los elementos de X pertenecen a Y, de forma recíproca, todos los elementos del conjunto Y, también pertenecen o están incluidos en X.

Ejemplo 7

Tenemos los conjuntos A y B:

A={5,6,7,8,9} B={9,6,5,7,8}

Entonces A=B

No importa el orden; todos los elementos de A están contenidos en B y viceversa.

Ejemplo 8 Sean los conjuntos :

B={3,4,3,7} y C={4,4,3,7}

B=C

Cabe destacar que ambos conjuntos son iguales, no importa: el orden y que algunos se repitan, pero en ambos se encuentran los elementos: 3,4,7.

El conjunto E={4,3,7} tiene los mismos elementos que B y C. entonces concluimos que:

E=B=C

Conjunto vacío.

Es un conjunto que carece de elementos, se conoce también como conjunto nulo y se representa con el símbolo:

\emptyset

Ejemplo 9:

Conjunto A, de las personas, vivas, nacidas en 1845

No hay una sola persona que esté viva, nacida en ese año, por lo menos hasta donde sabemos. por eso es un conjunto vacío, nadie cumple la condición para ser un elemento de A.

Conjunto B Conjunto de las persona menores de 10 años con licencia para conducir un automóvil.

Subconjuntos.

Cuando todo elemento de un conjunto X, pertenece también a un Conjunto Y; entonces X es un subconjunto de Y

EL símbolo:

\subset

Significa subconjunto. La notación:

X \subset Y

Se lee: El conjunto X es un subconjunto de Y, también que X está contenido en Y.

La notación:

Y \supset X

Significa que Y es un superconjunto de X.

El símbolo \not\subset Significa que Un conjunto no es subconjunto de otro.

Ejemplo 10.

A={1,3,7} B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Los elementos del conjunto A, pertenecen también a B, entonces A está contenido en B. El conjunto B además tiene más elementos que A y por lo que, ambos conjuntos no son iguales. Entonces A es un sunconjunto de B:

A \subset B

Nota: el conjunto vacío de considera subconjunto de todo conjunto.

Ejemplo 11

Subconjunto propio.

Para un subconjunto propio se debe cumplir la siguiente:

Y \subset X, Y \neq X

Entendemos que Y es un subconjunto de X, además ambos conjuntos son diferentes. Entonces Y es un subconjunto propio de X

Comparabilidad:

Dos conjuntos X, Y son comparables si:

Y \subset X o X \subset Y

Son comparables si uno de los dos conjuntos es subconjunto del otro.

Y, dos conjuntos no son comparables, si:

Y \not\subset X o X \not\subset Y

Ejemplo 12

Sean los conjuntos: A={a,b} y B={a,b,c}

A \subset B

Por que todo el conjunto A, está contenido en el conjunto B. Entonces A es comparable con B.

Ejemplo 13

Los conjuntos: C={1,2,} y D={2,3,4} donde C no es un subconjunto de B, entonces no son comparables:

C \not\subset D

Porque no todo C está contenido en D, por que el elemento 1 pertenece a C pero no está contenido en D.

Familias de conjuntos.

Cuando tenemos un conjunto, que está formado por otros conjuntos, tenemos una familia de conjuntos, que también se les conoce como clase de conjuntos. Esto es para no icurrir en pleonasmos y referirlos como un conjunto de conjuntos. Se representan usando letras inglesas

\mathscr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}

Ejemplo 14

El conjunto:

A={ {2,3}, {2}, {5,6}}

Es una familia de conjuntos, pues está formado por varios conjuntos.

Conjunto Universal U.

Cuando se trabaja con conjuntos, se hace una abstracción, considerando que todos conjuntos, son subconjuntos de otro conjunto.

Este conjunto se conoce como el conjunto Universal, se Usa la letra U, para nombrarlo.

También se conoce como universo del discurso. Este concepto a generado paradojas.

Ejemplo 15

En la geometría plana el conjunto universal, es el formado por todos los puntos del plano.

Ejemplo 16

Si hacemos un estudio sobre la población humana, el conjunto universal, es el conjunto de todas las personas del mundo.

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Conjunto Potencia.

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S, se llama conjunto potencia de S.

Y se representa por la ecuación:

S= 2^S

Lo que significa este conjunto potencia es la forma de representar y calcular todos los subconjuntos, de un conjunto dado.

Veamos, tenemos el conjunto V={a,e}, que solo tiene dos elementos, lo que nos va indicar cuantas combinaciones de los elementos podemos hacer para obtener los subconjuntos del conjunto V:

V= 2^V

Donde V es, además del nombre del conjunto, la cantidad de elementos que tiene en este caso son dos, entoces:

V= 2^2

V= 2^2 = 4

Este valor de 4 es la cantidad, de subconjuntos que podemos obtener de V, haciendo combinaciones:

2^V=\{\{V\},\{\varnothing\},\{a\},\{b\}\}

Aqui el primer elemento es el mismo conjunto V, así que se puede escribir también:

2^V=\{\{a,b\},\{\varnothing\},\{a\},\{b\}\}

Simplemente hay que entender que si un conjunto cualquiera tiene n elementos se pueden hacer

2^n

Combinaciones para formar los subconjuntos, que debe incluir por supuesto al mismo conjunto y al conjunto vacío.

Ejemplo 17

Hallar el conjunto potencia de M={1,2,3}

El conjunto M={1,2,3} tiene 3 elementos n=3

Entonces:

2^n=2^3=8

Entonces tendremos 8 combinaciones, 8 subconjuntos de la siguiente forma:

2^V=\{\{1,2,3\},\{\varnothing\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \}

Conjuntos disjuntos.

Cuando dos conjuntos X e Y, no tienen elementos comunes, ningún elemento de X está en Y y ningún elemento de Y está en X, ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común, entonces son conjuntos disjuntos.

Ejemplo 18

Sea E={x,y,z} y F={r,s,t}

Ambos conjuntos no tienen un solo elemento en común, son disjuntos.

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