Productos notables.
Tabla de contenidos
- Productos notables.
- Cuadrado de la suma de dos cantidades.
- Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
- Producto de la suma por de la diferencia de dos cantidades.
- Cubo de un binomio suma y diferencia.
- Productos de la forma (x+a)(x+b)
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Productos notables.
Un producto notables es aquél que cumple con reglas fijas para obtenerlo, se puede escribir por simple inspección, es decir prácticamente con mirarlo, sin necesidad de comprobar la multiplicación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
Elevar al cuadrado la suma de dos cantidades, es multiplicar este binomio por si mismo:
(x+y)^2=(x+y)(x+y)Desarrollando el producto:
(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2Reduciendo términos semejantes.
(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2Entonces:
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más
el cuadrado de la segunda cantidad.
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Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Elevar al cuadrado la diferencia de dos términos:
(x-y)^2=(x-y)(x-y)Es lo mismo que multiplicar por si misma, la expresión:
(x-y)Desarrollando el producto:
(x-y)(x-y)= x^2-xy-xy+y^2Reduciendo términos semejantes:
x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2Entonces:
Entonces el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos términos.
El producto:
(x+y)(x-y)AL efectuar la multiplicación del binomio
(x+y)(x-y)=x^2+xy-xy-y^2Reduciendo términos semejantes
x^2+xy-xy-y^2=x^2-y^2Cubo de la suma y diferencia de un binomio.
Si elevamos el la suma de dos términos al cubo
(x+y)^3Equivale a:
(x+y)^3=(x+y)(x+y)(x+y)Pero se puede simplificar
(x+y)(x+y)(x+y)=(x+y)^2(x+y) (x^2+2xy+y^2)(x+y)Finalmente desarrollamos el anterior producto:
(x^2+2xy+y^2)(x+y)=x^3+2x^2y+xy^2+x^2y+2xy^2+y^3Sumamos los términos semejantes:
x^3+3x^2y+3xy^2+y^3Entonces:
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3El cubo de la suma de las cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda .
Si elevamos la diferencia de dos términos:
(x-y)^3=(x-y)(x-y)(x-y)Es igual a:
(x-y)^2(x-y)=(x^2-2xy+y^2)(x-y)Desarrollando el producto y agrupando términos semeantes:
(x^2-2xy+y^2)(x-y)=x^3-2x^2y+xy^2-x^2y+2xy^2-y^3 (x^2-2xy+y^2)(x-y)=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3Entonces:
Así. el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad .
Productos de la forma (x+a)(x+b)
Si desarrollamos el producto:
(x+a)(x+b) (x+b)= x^2+ax+bx+abEjemplo 1
(x+3)= x^2+2x+3x+(3)(2)resulta (x+2)(x+3)= x^2+5x+6
Los productos de la forma (x+a)(x+b)
Cumplen las siguientes reglas:
- El primer término es el producto de los primeros términos de los factores.
- El segundo término tiene como factor la suma de los segundos términos de los factores y el factor literal, tiene por exponente la mitad del exponente del primer término del producto.
- Así tercer término es el producto de los segundos términos.
Ejemplo 2
Multiplicar de acuerdo a las reglas anteriores: (x+4)(x+7)
(x+4)(x+7)=x^2+11x+28Siguiendo las reglas el primer término es el producto de los dos primeros términos:
x \cdot x=x^2
Segundo término del producto es la suma de los segundos términos del producto y la literal tiene la mitad del exponente del primer término del producto:
(4+7)x=11x
Finalmente el tercer término del producto es, el producto de los segundos términos de los dos binomios:
7 \cdot 4=28