Conjunto de los números reales. \mathbb R
Los números Reales, se denotan con la letra \mathbb R y se definen como el conjunto de números que agrupa o incluye los números naturales \mathbb N, enteros \mathbb Z, racionales \mathbb Q e irracionales \mathbb I. También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, R = \mathbb Q ∪ \mathbb I. Por esta razón, se dice que todos los números son números reales.
Desde la antigua civilización babilonia hace aproximadamente 1800 años a.C. el matemático se había enfrentado a problemas con números que ahora llamamos irracionales, que no pueden escribirse como cocientes o enteros, tampoco se pueden representar como los decímales, que la parte decimal, tiene un término o se repiten. Los babilonios, tenían un sistema sexagesimal de numeración, es decir basado en el 60, conocían varias propiedades de la circunferencia entre ellas la relación entre circunferencia y diámetro, es decir el número π, que la parte decimal no tiene periodo y no se repite. Dependiendo de la exactitud de la naturaleza de los cálculos usaban, más o menos decímales. Los griegos se enfrentaron a varios problemas, pues el sistema numérico que conocieron solo admitía los números racionales.
Es hasta finales del siglo XIX, con los trabajos de George Cantor y Richard Dedekind, que hicieron definiciones precisas de los números reales, la definición de Cantor tiene sus raíces en el sistema numérico decimal y en el sistema de numeración babilónico. La teoría de conjuntos ha sido una herramienta fundamental en el desarrollo de las investigaciones para la definición de la teoría de números.
Tabla de contenidos.
- Números reales.
- Cómo entender los números reales.
- Conjunto de los números reales.
- Propiedades de los números reales.
- Propiedades de identidad
- Axiomas de campo de los números naturales.
- Axioma 1 Ley de la cerradura.
- Axioma 2 Ley conmutativa.
- Axioma 3 Ley asociativa.
- Axioma 4 Ley distributiva.
- Axioma 5 Elemento neutro o identidad.
- Axioma 6 Inverso aditivo
- Axioma 7 Inverso multiplicativo
- Axioma 8 axioma de orden.
- Teoremas derivados de los axiomas de campo de los números reales
Números reales.
Definir los números reales necesita el estudio de conceptos como cuerpo ordenado, el concepto de cuerpo quiere decir que se puede sumar restar o dividir dos números y el resultado deberá permanecer en el conjunto. En el caso de los números reales es suficiente la suma y la multiplicación, la esta y la división de obvian. ELsignificado de ser un cuerpo ordenado significa que dos números pueden cumplir las siguientes condiciones. pongamos un número cualquiera a y uno b se debe cumplir que a = b, a > b, a < b. es decir que son iguales, uno menor a mayor. Y por último el concepto de la mímima cota superior. Estos conceptos los trataremos a detalle en el curso de algebra superior. Este artículo explica los números reales a nível básico.
Los números reales están fomados por los suguientes conjuntos.
- Conjunto de los números naturales. \mathbb N
- Conjunto de los números enteros. \mathbb Z
- Conjunto de los número racionales. \mathbb Q
- Conjunto de los números irracionales. \mathbb I
Como entender los números reales.
Los números reales están formados por varios conjuntos de números, pero algunos de esos conjuntos tienen limitantes, limitantes que se resuelven con otros conjuntos de números.
Números naturales \mathbb N todo comienza con idea de contar, los números naturales son número reales son los que empleamos para contar, son números enteros positivos 1,2,3,4,5 etc. Es el primer sistema numérico que se formó. En las etapas iniciales de la historia de la humanidad, utilizaban los dedos o palitos piedras, para contar los objetos que poseían.
Conjunto de los números naturales. \mathbb N
\mathbb N= {1,2,3,….}
Conjunto de los números enteros. \mathbb Z corresponde a los números reales enteros positivos y negativos incluyendo el cero.
\mathbb Z ={ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Números racionales \mathbb Q: Son números que se pueden representar como la razón o división de dos enteros,
\frac{a}{b}
La utilidad de los números racionales es el representar proporciones de un objeto, como por ejemplo si tenemos una pizza y la repartimos entre 6 personas, a cada una de nosotros nos va tocar una sexta parte de la pizza \frac{1}{6}
Así tendrías un sexto de la pizza, una sexta parte de la pizza.
En notación de conjuntos el conjunto de los número racionales:
\mathbb Q = {x | x = a/b donde a ε \mathbb Z, b ε \mathbb Z }
Se lee el conjunto \mathbb Q igual a x tal que x es igual al cociente de a entre b, donde a, pertenece, al conjunto de los números enteros y b pertenece al conjunto de los números enteros.
Los números racionales representados como decimales, es decir el cociente de a/b son números como ½=0.5, ¾=0.75 o 10/3=3.33333 en los que la parte decimal se repite, sin fin o tiene un término. Todo entero es un número racional, por ejemplo 5/1=1
Los decimales que no son repetitivos son llamados decimales terminantes por ejemplo 9/4 que es igual a 2.25
Decimales repetitivos son aquellos que su parte decimal es repetitiva, por ejemplo 47/11 es igual a 4.272727
Números irracionales \mathbb I. Las cosas se complican con los números irracionales, los cuales no tienen una representación decimal determinante y no repetitiva; no pueden representarse de forma periódica y tampoco exacta. No podemos expresarlos en forma de fracción porque no se conoce el numerador y el denominador. Números irracionales representativos son:
- \pi =3.1416
- e = 2.7182818
- \sqrt{3}= 1.732050
- \sqrt{2} = 1.41421356
La parte decimal de un número irracional, no es exacta ni periodica. por ejemplo como la raíz cuadrada de 2 que tiene el valor de 1.41421356. el número irracional viene de la imposibilidad de representar dicho número como la razón de dos números enteros.
Conjunto de los números reales \mathbb R
Números reales. La unión de todos los conjuntos de números anteriores forma el conjunto de los números reales, se puede decir entonces que todos los conjuntos de números mencionados, naturales, enteros, racionales e irracionales, son números reales.
El conjunto de los números reales y dos operaciones: la suma que se representa por el símbolo + y la multiplicación representada por el símbolo * o x, es conocido como el campo de los números reales, estas son operaciones binarias.
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Propiedades de los números reales.
Las propiedades de los números reales, así como los axiomas de campo son la base de la matemática y el cálculo
Propiedades de relación de identidad.
La igualdad está representada por el símbolo = en el sistema numérico de los números reales, significa la relación de identidad; es decir a = b, esto significa que a y b son la representación del mismo número.
esta relación de igualdad se llama ecuación.
Para todo número a, b, c, \in\mathbb R todo número que pretenezca a los números reales.
Se cumplen las siguientes propiedades:
- Propiedad reflexiva a = a.
- Propiedad de simetría: sí a = b entonces b = a.
- Propiedad transitiva: a = b y b = c entonces a = c.
- Propiedad aditiva: sí a = b y c = d entonces a + c = b + d.
- Propiedad multiplicativa: sí a = b y c = d entonces ac = bd.
Las propiedades transitiva, aditiva y multiplicativa se pueden resumir con los siguientes enunciados:
Cosas iguales a la misma cosa son iguales entre sí; si se suman cantidades iguales a cantidades iguales, los resultados son iguales; sí cantidades iguales se multiplican por cantidades iguales los resultados son iguales.
Lo anterior da origen a las siguientes reglas:
- Ambos miembros de una ecuación pueden ser sumados por el mismo número.
- Se pueden multiplicar ambos miembros de una ecuaciónporel mismo número
Axiomas de campo de los número naturales.
Axioma 1 Ley de la cerradura.
Si a y b son números reales la ley de la cerradura define para a y b
a + b = c
a x b = d
Donde c es un número real.
Esto significa que, al efectuarse una operación de suma o multiplicación de números reales, se obtiene de la suma o el producto otro número real respectivamente. Se llama de la cerradura pues se considera que un conjunto es cerrado con respecto a una operación, si esta se hace con elementos del conjunto, y el resultado es un elemento del mismo conjunto.
Para cualesquier a , b \in\mathbb R
a + b \in \mathbb R
a x b \in \mathbb R
Ejemplo.
Si hacemos la suma de dos números reales enteros impares por ejemplo 3 y 7 es igual a 10, que es un número entero par, pero sigue perteneciendo al conjunto de los números reales.
Si hacemos el producto de 3 x 7 = 12 se obtiene un entero impar que pertenece al conjunto de los números reales.
Axioma 2 Ley conmutativa.
Para cualesquier a , b \in\mathbb R
a + b = b + a
a x b = b x a
La propiedad conmutativa para la suma de dos números, indica que no importa el orden de los sumandos el resultado es el mismo, en el caso de la multiplicación, esta ley es la que dice que el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
5 + 9 = 14, y 9 + 5=14
9 * 5 = 45 y 5 * 9 = 45
Axioma 3 ley asociativa.
Para cualesquier a , b \in\mathbb R
Para la suma:
a + (b + c) = (a + b) + c
Para la multiplicación:
a(bc) = (ab)c
Para la suma se pueden agrupar los sumandos usando los signos de paréntesis, también conocidos como signos de agrupación, indicando que primero se efectúa la operación de los elementos que se encuentran dentro.
De la misma manera para la multiplicación se hace primero el producto de los factores entre los paréntesis. Sin afectar el resultado de la operación.
Ejemplo
Sumar:
3 + (8 + 9) =20 y (3+8) + 9 =20
3 + 17=20 y 11 +9 =20
Multiplicar:
5(2 x 6)=(5 x 2)x6
5(12)=(10)6
60 = 60
Axioma 4. Ley distributiva.
Para cualesquier a , b, c \in\mathbb R
a(b + c) = ab + ac.
Ejemplo
5(4 + 7) = 5(11) = 55
Es decir que primero se efectúa lo que se encuentra dentro del paréntesis, 4 + 7= 11 y se multiplica por 5.
Pero también puede ser:
5(4 + 7) = 5(4) + 5(7) = 20 + 35 = 55
Axioma 5 del elemento neutro o identidad.
Dos números reales son peculiares el 0 y el 1. Se les conoce como el neutro aditivo y el neutro multiplicativo. Para cualquier número real.
Neutro aditivo a + 0 = a
Neutro multiplicativo a x 1 = a.
Ejemplo:
8 + 0 = 0 neutro aditivo.
5 x 1 = 5 neutro multiplicativo.
Axioma 6 Inverso aditivo.
Para cualquier número real a existe un número real, denominado inverso aditivo, también simétrico, de a, denotado por –a, para el cual:
a + (-a) = 0.
entonces:
-a + a = 0
Axioma 7 Inverso multiplicativo.
Para a \in\mathbb R y a \neq 0
Para todo número real a, diferente de 0, existe un número real, llamado inverso multiplicativo o recíproco de a expresado de la forma \frac{1}{a} de tal forma que:
a(\frac{1}{a}) = 1
Ejemplo el recíproco de 5 es 1/5 por lo tanto:
5(1/5)=1
Los axiomas anteriores, también son conocidos como propiedades, de los números reales. También se les conoce como axiomas de campo. Un campo es un conjunto de elementos para los cuales se satisfacen axiomas con respecto a las operaciones involucradas. Entonces el conjunto de los números reales es el campo de las operaciones de la suma y multiplicación.
Axioma 8 axioma de orden.
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto de número positivos, tal que:
1. Si a \in \mathbb R uno de los enunciados siguientes es verdad.
- a = 0
- a > 0. a es positivo.
- a < 0. a es negativo.
2. La suma de dos números positivos es positiva.
3. El producto de dos números positivos es positivo.
El conjunto \mathbb R de los números reales, satisface el axioma de orden y los axiomas de campo, el conjunto de los números reales \mathbb R, es un campo ordenado.
Teoremas derivados de los axiomas de campo de los números naturales.
Los siguientes teoremas derivan directamente de los axiomas de campo. Son las propiedades básicas del sistema de los números reales.
Teorema 1: El elemento identidad para la multiplicación es único.
Demostrar que 1 es el único elemento de identidad para la multiplicación, pues según el axioma de identidad de la multiplicación a x1 = a
Donde suponiendo que b es un elemento de identidad para la multiplicación entonces:
1 = 1 x b
1 = b x 1 propiedad conmutativa
1 = b axioma 5 elemento neutro o identidad.
Teorema 2: Elemento identidad para la suma, 0, es único,
Teorema 3: El inverso multiplicativo de cualquier número diferente a cero, que pertenece a los números reales es único.
Demostración: suponiendo que b es un número multiplicativo inverso de un número real a distinto de cero, entonces:
a x b = 1 hipótesis.
(ab)\frac{1}{a} = 1(\frac{1}{a} )
\frac{1}{a}(ab) = (\frac{1}{a} )1
1 (b) = \frac{1}{a}
b = \frac{1}{a}
Teorema 4: El inverso aditivo de cualquier número real es único.
Teorema 5: para cualquier número real:
-(-a)
Este teorema es importante porque demuestra por que un número negativo multiplicado por un negativo es negativo.
Demostración:
-(-a) = a
por el inverso aditivo:
-a + [-(-a)] =a -a
-a + [-(-a)] = 0
a + (-a) = 0
(-a ) + (a) = 0
Esto significa que -(-a) y a son ambos inversos aditivos de -a.
Teorema 6: para cualquier número real a x 0 = 0
Demostración.
a x 0 = a x 0 + 0
=a x 0 +{a x 0 + [-(a x 0)]}
=(a x 0 + a x 0) + [-(a x0)]
=a(0 + 0) + [-(a x 0)]
= a(0) + [-(ax0)]
= 0
Teorema 7: Sí a y b pertenecen a los números reales, y ab = 0, entonces a= o o bien b = 0
Teorema 8: Si a y b pertenecen a los números reales entonces:
(-a)b = -(ab)
Demostración:
(-a)b = -(ab)
ab + (-a)b = ab + (-a)b
ab + (-a)b = b[a + (-a)]
ab + (-a)b = b[0]
ab + (-a)b= o
0 = 0
Teorema 9: Para cualquier número a, b, que pertenece a los números reales.
(-a) (-b) = ab
Demostración.
(-a)(-b)=ab
(-a)(-b) = ab +0
(-a)(-b) = ab + (ab – ab) porque (ab – ab) = 0
(-a)(-b) +-(ab – ab) = ab +(ab-ab)+-(ab-ab)
por inverso adiivo
(-a)(-b) + -(ab-ab) = ab
-(ab-ab)+(-a)(-b) = ab
-a(0) + (-a)(-b) = ab donde -b+ b = 0
Entonces:
0 + -a(-b) = ab
(-a)(-b) = ab
Teorema 10: para a,b, c, pertenencen a los números reales.
a(b – c) = ab – ac
Teorema 11: para a,b, que pertenecen a los números reales.
\frac{a}{b} = a(\frac{1}{b})
Teorema 12: para cualquier b \in \mathbb R y b\neq 0
\frac{1}{-b} = -\frac{1}{b}Teorema 13: para cualquier a, b \in \mathbb R, b\neq 0
\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} y \frac{-a}{b} = – \frac{a}{b}
Teorema 14: para cualquier a, b \in \mathbb R, b\neq 0
Teorema 15: para cualesquier para cualquier a, b \in \mathbb R, a,b\neq 0
Teorema 16: para cualquier a, b, c, d \in \mathbb R, b,d\neq 0
Teorema 17: para cualquier a, b, c, d \in \mathbb R, b,c\neq 0
Teorema 18:
para cualquier a, b, c \in \mathbb R, c\neq 0
Teorema 19: para cualquier a, b, c, d \in \mathbb R, b,d\neq 0
Teorema 20: para cualquier a, b, c, d \in \mathbb R, b,d\neq 0